FIBONACCI Y LOS PROBLEMAS DEL LIBER ABACI

Hoy en día casi todo el mundo recuerda a Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, por la sucesión:

            1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

en la que cada término de la misma se halla sumando los dos precedentes. Esta sucesión aparece como solución de uno de los problemas que Fibonacci incluyó en su libro, el Liber Abaci:

   Un hombre coloca una pareja de conejos de un mes de edad en un recinto cerrado para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mes, a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. ¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año?

El Liber Abaci fue escrito por Fibonacci en 1202 en Pisa. Con este libro, Fibonacci pretendía mostrar a sus compatriotas las ventajas del sistema de numeración decimal indo-arábigo, que él había aprendido en sus viajes por el Este mediterráneo, con respecto a los números romanos que se usaban todavía en Europa.

El Liber Abaci contiene, además, una notable colección de problemas pertenecientes al ámbito de la matemática recreativa. Muchos de estos problemas se han convertido en clásicos de la matemática recreativa.

LEONARDO DE PISA

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, nació en Pisa alrededor del 1175. De su vida se conoce muy poco. Su apodo Fibonacci proviene de la contracción de filius Bonacci (literalmente hijo de Bonaccio). Dado que su padre se llamaba Guilielmo, Fibonacci significaría descendiente de Bonaccio, quien sería algún ilustre antecesor perteneciente a su familia.

El padre de Leonardo tenía un cargo diplomático. Su trabajo era representar a los comerciantes de la República de Pisa que negociaban en Bugia (luego Bougie y hoy Bejaia). Bejaia es un puerto mediterráneo en el noreste de Argelia. Fibonacci, siendo un adolescente, acompañó a su padre a Bugia. 

Allí aprendió matemáticas y, posteriormente, viajó extensamente por Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza y reconoció las grandes ventajas de los sistemas matemáticos usados en los países que visitaron. Fibonacci observó que las técnicas matemáticas que usaban los árabes eran superiores a las que se usaban en la mayoría de los países europeos. Aprendió a sumar, restar, multiplicar y dividir usando los números indo-arábigos y aprendió a escribir las operaciones en papel. Con los números romanos no había forma de escribir las operaciones paso a paso en papel. Se escribía el resultado final, pero los cálculos se hacían con el ábaco.

Leonardo regresó a Pisa hacia el año 1200. La primera edición del “Liber Abaci” se publicó en 1202. En esta obra, Leonardo introduce las cifras indo-arábigas en Occidente y proporciona las reglas para realizar las operaciones elementales con ellas. El Liber Abaci es una verdadera antología del saber matemático de la época, de notable importancia por la divulgación y la descripción que ofrece de la matemática y de la vida cotidiana.En 1228 se publica una segunda edición del libro.

Posteriormente a 1228 sólo se conoce un documento que hace referencia a Fibonacci. Se trata de un decreto de la República de Pisa en 1240 en el cual se otorga un salario a:

“... el serio y erudito Maestro Leonardo...”

Este sueldo fue dado a Fibonacci en reconocimiento por sus servicios a la ciudad, sus consejos en materia de contabilidad y su enseñanza a los ciudadanos.

1. LOS ÁRBOLES DEL REY

   Un rey envió 30 hombres a plantar árboles y plantaron 1000 árboles en 9 días. ¿Cuántos días tardarán 36 hombres en plantar 4400 árboles?

2. 30 PÁJAROS POR 30 DENARIOS

   Un hombre compra 30 pájaros entre perdices, pichones y gorriones. Se gasta 30 denarios. Si una perdiz cuesta 3 denarios, un pichón 2 y dos gorriones cuestan un denario, ¿cuántos pájaros compró el hombre de cada tipo?

3. DOS VIAJEROS

   Dos hombres tienen la intención de hacer un largo viaje. Uno de ellos caminará 20 millas diarias. El otro hará una milla el primer día, 2 el segundo, 3 el tercero y así sucesivamente añadiendo siempre una milla a lo recorrido el día anterior. ¿Cuántos días tardará  el segundo viajero en alcanzar al primero?

4. OTROS DOS VIAJEROS

   Dos hombres tienen la intención de hacer un largo viaje. Uno de ellos caminará 10 millas diarias. El otro hará 3 millas el primer día, 6 el segundo, 9 el tercero y así sucesivamente, añadiendo siempre tres millas a lo recorrido el día anterior. ¿Cuántos días tardará  el segundo viajero en alcanzar al primero?

5. EL PANECILLO

   Si 1/3 de un panecillo vale 1/4 de un besante, ¿cuánto cuesta 1/5 de panecillo?

6. DOS NÚMEROS ENTEROS

   Encuentra dos números enteros de manera que los 2/7 de uno sean igual que los 3/8 del otro.

7. TRES NÚMEROS ENTEROS

  Encuentra tres  números enteros de manera que los 2/5 de uno sean igual que los 3/7 del segundo e igual que los 4/9 del tercero.

8. EL ÁRBOL

   De un árbol, 1/4 y 1/3 está bajo tierra. Si la parte soterrada del árbol mide 21 palmos, ¿cuál es la altura de dicho árbol?

9. EL LEÓN EN EL POZO

   Un león se encuentra en un pozo de 50 palmos de profundidad. Diariamente asciende 1/7 de palmo y desciende 1/9. ¿Cuántos días tarda en salir del pozo?

10. DOS SERPIENTES

   Una serpiente, que se encuentra en la base de una torre de 100 palmos de altura,  asciende diariamente 1/3 de palmo y desciende 1/4. En lo alto de la torre hay otra serpiente que desciende diariamente 1/5 de palmo y asciende 1/6. ¿Cuántos días tardarán en encontrarse ambas serpientes? ¿A qué altura se encuentran en dicho momento?

11. CUATRO PIEZAS DE TELA

   Un hombre compra 4 piezas de tela por 80 besantes. La segunda le cuesta 2/3 el precio de la primera. La tercera la compra por 3/4 del precio de la segunda y la cuarta la compra por 4/5 del precio de la tercera. ¿Cuánto cuesta cada pieza?

12. EL PERRO Y EL ZORRO

   Un zorro va 50 pasos por delante de un perro que le persigue. Por cada 6 pasos que da el zorro el perro avanza 9. ¿Tras cuántos pasos el perro alcanza al zorro?

13. TRES NÚMEROS QUE SUMAN 10

   Halla tres números que sumen 10 de manera que el producto del mayor por el menor número sea igual al producto del otro número por sí mismo.

14. CUATRO NÚMEROS QUE SUMAN 10

   Halla cuatro números que sumen 10 de manera que el producto del mayor por el menor número sea igual al producto del segundo por el tercero.  Y además que el primero por el tercero sea igual al segundo multiplicado por sí mismo y que el segundo multiplicado por el cuarto sea igual al tercero multiplicado por sí mismo.

15. EL LEÓN, EL LEOPARDO Y EL OSO

   Un león se come una oveja en 4 horas, un leopardo en 5 y un oso tarda 6 horas. ¿Cuántas horas tardarán en devorarla los tres juntos?

16. DOS HORMIGAS QUE SE SIGUEN

    Dos hormigas separadas por 100 pasos se mueven en la misma dirección hacia un mismo punto. La primera avanza diariamente 1/3 de paso y retrocede 1/4; la otra avanza 1/5 y retrocede 1/6. ¿Cuántos días tardarán en encontrarse?

17. DOS BARCOS AL ENCUENTRO

   Dos barcos se encuentran en diferentes puertos. Uno de ellos recorre la distancia que separa ambos puertos en 5 días y el otro, siguiendo el mismo trayecto, en 7. Si salen a la vez, ¿cuántos días tardarán en cruzarse?

18. UNA CISTERNA CON 4 DESAGÜES

   Una cisterna tiene 4 desagües. El primero la vacía en un día, el segundo en 2, el tercero en 3 y el cuarto en 4. ¿En cuántas horas se vaciará la cisterna si se abren los 4 desagües a la vez?

19. UNA CISTERNA CON GRIFOS Y DESAGÜES

   La misma cisterna del problema anterior tiene 4 grifos que traen agua. El primero llena la cisterna en 6 horas, el segundo en 9, el tercero en 24 y el cuarto en 27. Si la cisterna está inicialmente vacía y se abren simultáneamente los 4 grifos mientras los 4 desagües están abiertos, ¿en cuántas horas se llenará la cisterna?

20. UNA CISTERNA CON 10 DESAGÜES

   Una cisterna tiene 10 desagües. El primero la vacía en un día, el segundo en 1/2 día, el tercero en 1/3 de día y así sucesivamente. ¿En cuántas horas se vaciará la cisterna si se abren los 10 desagües a la vez?

21. CUATRO HOMBRES EN UN BARCO

   Cuatro hombres cargan su grano en un barco. Cada uno de ellos, con su carga, ocupa un cuarto de la capacidad del barco. Por el transporte  el primer hombre da al capitán del barco 1/3 de su grano, el segundo 1/4, el tercero  1/5 y el cuarto 1/6. Si el capitán recibe 1000 modios de grano, ¿cuál es el peso del grano cargado en el barco?

22. CUATRO HOMBRES EN UN BARCO (II)

   Cuatro hombres cargan su grano en un barco. Cada uno de ellos, con su carga, ocupa un cuarto de la capacidad del barco. Por el transporte  el primer hombre da al capitán del barco 1/3 de su grano, el segundo 1/4, el tercero  1/5 y el cuarto 1/6. Si después de pagar al capitán les quedan 1000 modios de grano a los cuatro hombres, ¿cuál es el peso del grano cargado en el barco?

23. EL SIRVIENTE

   Un hombre entra a trabajar para un señor rico. En compensación recibe tres pagas al mes más una cantidad de 10 denarios. La segunda es 2 denarios mayor que la primera y la tercera 2 denarios mayor que la segunda. Sin embargo este mes solo ha podido trabajar 6 días por lo cual  recibe la mitad de la primera paga, 1/3 de la segunda y 1/4 de la tercera. Si el hombre ha recibido la cantidad adecuada en relación a  los días trabajados, ¿a cuánto ascendía el importe de las pagas acordadas?

24. UNA COPA CON TAPA

   La base de una copa pesa un tercio de la copa entera, la tapa un cuarto y el resto pesa 15 libras. ¿Cuál es el peso de la copa entera?

25. DOS HOMBRES CON ALGUNOS DENARIOS

   Dos hombres tienen algunos denarios, y uno le dice al otro: “Si me dieras uno de tus denarios entonces tendríamos los mismos denarios”. El otro responde: “Si me dieras uno de los tuyos yo tendría diez veces los tuyos”. ¿Cuántos denarios tienen cada uno?

26. DOS HOMBRES CON ALGUNOS DENARIOS (II)

   Dos hombres tienen algunos denarios, y uno le dice al otro: “Si me dieras 7 denarios entonces tendría cinco veces más denarios que tú”. El otro responde: “Si me dieras 5 de los tuyos yo tendría siete veces los tuyos”. ¿Cuántos denarios tienen cada uno?

27. DOS NÚMEROS

   Halla dos números enteros tales que 1/5 del primero sea igual a 1/7 del segundo y el producto de 1/5 del primero  por 1/7  del otro sea igual a la suma de ambos números.

28. LA BOLSA ENCONTRADA POR DOS HOMBRES

   Dos hombres encontraron una bolsa con dinero. El primer hombre dijo al segundo: “Si tomo todos los denarios que hay en la bolsa tendré tres veces los que tú tienes”. El otro respondió: “Y si yo junto los denarios que hay en la bolsa con los míos tendré cuatro veces los que tu tienes”. ¿Cuántos denarios tiene cada uno y cuántos denarios hay en la bolsa?

29. LA BOLSA ENCONTRADA POR TRES AMIGOS

   Tres hombres encontraron una bolsa  con dinero. El primer hombre dijo: “Si tomo todos los denarios que hay en la bolsa tendré el doble que vosotros”. El segundo respondió: “Y si yo junto los denarios que hay en la bolsa con los míos tendré el triple veces de denarios que vosotros”. El tercero añadió: “Con mis denarios y con los que hay en la bolsa tendré el cuádruple de los que tenéis vosotros ahora”.

¿Cuántos denarios tiene cada uno y cuántos denarios hay en la bolsa?           

30. DOS HOMBRES Y DOS BOLSAS CON BESANTES

   Dos hombres encontraron dos bolsas con besantes. En la segunda había 13 besantes más que en la primera. El primer hombre le dice al segundo: ”Si tomo todos los besantes que hay en la primera bolsa tendré el doble que tú”. El segundo respondió: “Y si yo junto los besantes que hay en la segunda bolsa con los míos tendré el triple de besantes que tú”. ¿Cuántos besantes tiene cada uno y cuántos besantes hay en cada bolsa?

31. DOS HOMBRES Y UN CABALLO EN VENTA

   Dos hombres desean comprar un caballo pero ninguno de ellos posee suficiente dinero para hacerlo. El primero dice al segundo: “Si me das 1/3 de tus besantes entonces puedo comprar el caballo”. El segundo responde: “Si me das 1/4 de tus besantes yo también tendré besantes suficientes para comprar el caballo”. ¿Cuál es el precio del caballo y cuántos besantes posee cada uno de los dos hombres?

32. DOS HOMBRES Y DOS CABALLOS

   Dos hombres desean comprar dos caballos. El segundo caballo cuesta dos besantes más que el primero. El primer hombre  dice al segundo: “Si me das 1/3 de tus besantes entonces puedo comprar el primer caballo”. El segundo responde: “Si me das 1/4 de tus besantes yo tendré besantes suficientes para comprar el segundo caballo”. ¿Cuál es el precio de los caballos y cuántos besantes posee cada uno de los dos hombres?

33. UN COMERCIANTE DE PISA

   Un hombre llegado a Lucca por negocios consiguió el doble del dinero traído y allí gastó 12 denarios. De Lucca se dirigió a Florencia donde dobló de nuevo el dinero traído y gastó 12 denarios. De Florencia regresó a Pisa donde nuevamente consiguió doblar el dinero que traía y gastó 12 denarios, no quedándole nada de dinero después. ¿Cuánto denarios tenía el hombre al inicio de este viaje?

34. DOS HOMBRES QUE TRANSPORTAN LANA

   Un hombre carga 13 balas de lana en un barco y otro 17 del mismo precio. Al llegar a destino el dueño del barco les pide que abonen las tasas por la carga transportada. Como no tienen dinero para pagar, el primer hombre el dice al dueño: “Toma una de mis balas de lana y dame lo que sobre”. El dueño del barco cogió la bala de lana y le devolvió 10 sueldos. El segundo hombre, que tampoco tenía dinero, le da al dueño del barco otra bala de lana y el dueño le devuelve 3 sueldos. ¿Cuál es el valor de una bala de lana y cuánto cuesta su transporte?

35. DOS PESCADORES Y UNA ADUANA

   Un hombre tiene 12 peces y otro 13, todos del mismo valor. El agente de aduanas exige al primer hombre un pez y 12 denarios. Al segundo le pide 2 peces pero le devuelve 7 denarios. ¿Cuál es la tasa por cada pez y cuánto vale un pez?

36. LAS MANZANAS DEL JARDÍN

   Un hombre entra al jardín del placer a través de 7 puertas y coge allí un cierto número de manzanas. Para salir debe pagar a los guardianes de cada puerta. Al primer guardián le da la mitad de las manzanas que lleva más una. Al segundo guardián le da la mitad de las manzanas que le quedan más una. Hace lo mismo con los guardianes de cada una de las cinco puertas que le faltan. Cuando sale le queda una manzana. ¿Cuántas manzanas había tomado en un principio?

37. LA HERENCIA

   Un hombre, aproximándose al final de su vida, llamó a su hijo mayor y le dijo: “Mis bienes serán repartidos del siguiente modo: tú obtendrás un besante y 1/7 de los restantes besantes”. Al segundo hijo le dijo:”A ti te corresponden 2 besantes y 1/7 de los restantes”. Al tercer hijo le dijo que le correspondían 3 besantes y 1/7 de los restantes. Así les dijo a todos sus hijos en orden decreciente de edad, dando a cada uno un besante más que al anterior y 1/7 de los que quedaban. Al último hijo  le tocó lo que quedaba después del reparto. Al finalizar el reparto, los hijos se dieron cuenta que todos habían recibido los mismos besantes. ¿Cuántos hijos tenía dicho hombre y cuántos besantes recibió cada uno?

38. LA HERENCIA(II)

   Un hombre, aproximándose al final de su vida, llamó a su hijo mayor y le dijo: “Mis bienes serán repartidos del siguiente modo: tú obtendrás  1/7 de mis besantes más 1 besante”. Al segundo hijo le dijo:”A ti te corresponden  1/7  de los restantes besantes más 2 besantes”. Al tercer hijo le dijo que le correspondían  1/7 de los besantes que quedaban más 3 besantes. Así les dijo a todos sus hijos en orden decreciente de edad, dando a cada uno 1/7 de los besantes que quedaban y un besante más que al anterior. Después del reparto los hijos se dieron cuenta que todos habían recibido los mismos besantes. ¿Cuántos hijos tenía dicho hombre y cuántos besantes recibió cada uno?

39. UN MÚLTIPLO DE 7

   ¿Cuál es el número más pequeño que dividido entre 2, 3, 4, 5 ó 6 da de resto 1 y es exactamente divisible por 7?

40. UN MÚLTIPLO DE 7 (II)

   ¿Cuál es el número más pequeño que dividido por 2 da de resto 1, dividido por 3 da de resto 2, por 4 da de resto 3, por 5 da de resto 4 por 6 da de resto 5 y es exactamente divisible por 7?

41. DOS HOMBRES QUE TIENEN 5 PANES

   Dos hombres van de paseo hasta una fuente. Allí se disponen a almorzar. Uno de los hombres tiene 3 panes y el otro 2. Ven a un soldado y le invitan a unirse a ellos. Todos comen el mismo pan y el soldado, al marchar, les entrega 5 besantes por el pan recibido. ¿Cómo deben repartirse los besantes los dos hombres?

42. LAS PAREJAS DE CONEJOS

Un hombre coloca una pareja de conejos de un mes de edad en un recinto cerrado para ver cuántos descendientes producen en el curso de un año, y se supone que cada mes, a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. ¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año?

43. CUATRO HOMBRES CON DENARIOS

   Hay 4 hombres. Entre el primero, el segundo y el tercero tienen 27 denarios. El segundo, el tercero y el cuarto tienen 31 denarios; el tercero, el cuarto y el primero tienen 34 denarios; el cuarto, el primero y el segundo tienen 37 denarios. ¿Cuántos denarios tiene cada uno?

44. LAS CUATRO PESAS

 

   Un comerciante tiene una balanza de dos platos y cuatro pesas. Con éstas puede pesar cualquier objeto cuyo peso sea un número entero entre 1 y 40 libras. ¿Cuál es el peso de cada una de las cuatro pesas?

45. LAS CINCO PESAS

   Si añadimos a las pesas del problema anterior una quinta pesa, ¿cuál será el peso de ésta última? ¿Cuántas libras podremos pesar ahora?

46. DOS HOMBRES QUE TENÍAN MANZANAS

Un hombre que tenía 10 manzanas y otro que tenía 30  fueron juntos a un mercado para venderlas. Las pusieron a la venta al mismo precio. Luego fueron a otro mercado e hicieron lo mismo. Si al acabar el día los dos habían obtenido la misma suma de dinero, ¿cuál era el precio de las manzanas en cada mercado? ¿Cuántas manzanas vendió cada uno en cada mercado?

47. LAS POTENCIAS DE DOS

   ¿Cuánto vale la suma de la sucesión de potencias de dos (desde 2⁰ hasta 2⁶³) escritas en un tablero de ajedrez?

48. SIETE ANCIANOS

   Siete ancianos van a Roma. Cada uno tiene 7 mulas, cada mula tiene 7 sacos, en cada saco hay 7 panes, en cada pan hay 7 cuchillos y cada cuchillo tiene 7 dientes. ¿Cuál es la suma de todo lo anteriormente nombrado?

49. UNA CIUDAD CON DIEZ PUERTAS

   Un hombre desea abandonar una ciudad que tiene 10 puertas. En la primera puerta debe entregar 2/3 de sus besantes y 2/3 de un besante. En la segunda puerta debe entregar la mitad de lo que lleva y 1/2 de un besante. En la tercera puerta 1/3  de lo que lleva y 1/3 de un besante. En la cuarta 1/4 de lo que lleva y 1/4 de un besante. Y así hasta la décima puerta donde entregó 1/10 de los besantes que le quedaban y 1/10 de un besante, quedándole al abandonar la ciudad un único besante. ¿Cuántos besantes tenía el hombre?

50. LOS DOS POSTES

Hay dos postes separados por 12 pies. El menor tiene una altura de 35 pies y el más alto mide 40 pies. Si el más alto se apoyara sobre el menor: ¿en que parte del poste tocaría? ¿Y si el menor se apoya en el de más altura?

51. DOS PÁJAROS VOLANDO HACIA LA FUENTE

Dos torres, una de 30 pasos y otra de 40 pasos están separadas 50 pasos. Entre las dos torres se encuentra una fuente hacia la que descienden dos pájaros que están en las almenas de las torres. Yendo a igual velocidad llegan al mismo tiempo. ¿A qué distancia de las torres se encuentra la fuente?

 

Solución (con Geogebra)